Qué es el complemento a 2 y por qué lo usan los ordenadores

El problema: el binario no tiene signo menos

En papel escribimos −5 poniendo un signo delante, pero un ordenador solo tiene ceros y unos. Hace falta una convención para decidir qué combinaciones de bits representan números negativos. Se probaron varias ideas y la que ganó, y la que usan prácticamente todos los procesadores actuales, es el complemento a 2.

La primera idea (y por qué no funcionó bien)

Lo más intuitivo sería reservar el primer bit para el signo (0 positivo, 1 negativo) y usar el resto para el valor. Es el sistema llamado signo y magnitud. Tiene dos problemas: existen dos ceros distintos (+0 y −0), y sumar un positivo con un negativo exige circuitos especiales. El complemento a 2 resuelve ambos.

Cómo se calcula, paso a paso

Para escribir un número negativo −N con un número fijo de bits:

1. Escribe N (en positivo) en binario, rellenando con ceros a la izquierda hasta completar los bits.
2. Invierte todos los bits.
3. Suma 1.

Ejemplo: −20 con 8 bits

• 20 = 00010100
• Invertido: 11101011
• Más 1: 11101100

Así que −20 en complemento a 2 de 8 bits es 11101100. Los números positivos no cambian: 20 sigue siendo 00010100.

Cómo leer un binario con signo

Si el primer bit es 0, el número es positivo y se lee normal. Si es 1, es negativo. Para saber su valor tienes dos opciones:

• Repetir la receta: invertir y sumar 1 te devuelve el valor positivo. De 11101100 → 00010011 → 00010100 = 20, así que el número era −20.
• Usar un peso negativo: el primer bit vale −128 (en 8 bits) en lugar de +128. Entonces 11101100 = −128 + 64 + 32 + 8 + 4 = −20.

Por qué es tan buena idea

La gran ventaja es que la suma funciona igual para todos. Sumemos 20 + (−20) en 8 bits:

00010100 + 11101100 = 1 00000000

El 1 que sale por la izquierda (el acarreo) se descarta porque no cabe en 8 bits, y el resultado es exactamente 0. El procesador no necesita saber si los números eran positivos o negativos: usa el mismo circuito sumador. Además, solo existe un cero.

Rangos y desbordamiento

Con n bits se pueden representar los números de −2ⁿ⁻¹ a 2ⁿ⁻¹ − 1:

Si una operación da un resultado fuera de ese rango se produce un desbordamiento (overflow). Por ejemplo, en 8 bits 127 + 1 da 10000000, que se interpreta como −128. Este tipo de error ha causado fallos reales en programas y videojuegos, y es la razón de que en programación haya que elegir bien el tamaño de las variables.